在正式进入霍奇猜想这个未知的领域前，他还有很多工作要做。无论是生活上的，还是数学上的。
解决霍奇猜想，就像是人类第一次航行于茫茫大海一样，谁也不知道在未知的海洋中是否还有其他的陆地，谁也不知道是否能顺利抵达另一处海岸线。
他唯一拥有的，就是一条刚刚打造出来的小船。
而这条小船，在进入未知的海洋后，是否会被风浪掀翻，是否会沉入海底，是否会触礁卡住无法动弹，徐川也不知道。
但尽管如此，他依旧要去尝试。
因为哪怕是仅仅只航行出去十米，那也是伟大的突破。
.......
在商店中采购了一批生活物资后，徐川又从燧石图书馆中借阅了一批有关霍奇猜想的手稿与资料。
有一部分是他之前看过的，还有一部分则是尚未翻阅的。
这些都是前人留下的珍贵知识，而且有一些在网络上根本就搜不到。因为它们只是某个数学家的一些想法和原理论，并未成型。
这些东西，不管看没看过，对于他向霍奇猜想发起冲锋都很有用。
不过在借阅这些东西的时候，他遇到了个不小的麻烦。
管理燧石图书馆的是一个看起来不修边幅的糟老头子，这个头发乱糟糟像个鸟窝的糟老头是纸质资料领域保存的顶级专家，但也异常的固执。
而这个固执的老头始终不愿意对外借出这么多文献，认为他很有可能损坏或者遗失这些珍贵的稿纸。
为了获得这批资料，徐川在燧石图书馆磨了一天，最终的努力也不过是让对方同意将其放到一起在图书馆中翻阅而已。
但对于徐川而言，在图书馆中证明霍奇猜想是条并不怎么靠谱的路。
这里虽然很安静，但每天都人来人往的。
没办法，最终他只能找到普林斯顿数学院的院长戴维·修，作出了一系列的保证，并学习了纸质资料的一些保存方法，甚至签下了一份保证书，才勉强让对方同意。
带着繁多的资料，徐川重新回到宿舍中。
其实不用那个来自日耳曼的糟老头提醒，他也会好好的保护好这些东西的。
不过现在，除了好好的保存外，对于这些资料而言，更大的价值是在霍奇猜想上发挥出自己的作用。
想必当初创造出这些知识的数学家肯定也是这样想的。
对于一名学者来说，没人愿意看到自己创造出来的知识被束之高阁，如果一项知识不能流传被运用，对于知识而言，它没有任何的价值。
.......
处理好进入霍奇猜想前的准备，徐川再度将自己锁在了宿舍中。
时间就这样的流逝着，眨眼间，十月金秋到来，洛克菲勒住宿学院外的糖槭、梧桐等树木开始泛起一丝金黄。偶尔有几片落叶随风缓缓飘落。
….三零六号宿舍中，一道人影站在窗前，望向外面的挂满了悬铃果实的悬铃木。
清晨的日出在墨蓝色的云霞里透亮，窗外金黄色和深绿色的树叶交织在一起，沉甸甸的悬铃果镶嵌其中。
望着窗外的风景，徐川脸上挂着笑容。
秋季，是丰收的季节。
尽管针对霍奇猜想的研究并非如他预想中的那般一帆风顺，但对于最终的结果，他始终充满了信心。
而两个月的时间过去，在霍奇猜想这片未知的海洋中，他终于找到了一片出现在眼前的海岸线。
那是新大陆！
望着窗外的风景，徐川面带笑容的转身回到了桌前。
尽管霍奇猜想还未完美的解决，但他已经看到了那条海岸相交的地平线，看到了那座耸立在天际的新大陆。
剩下的，就是努力的将自己的小船划过去了。
.....
拾起桌上的圆珠笔，徐川在此前未写完地方提笔继续：
“......设V是复射影空间中的一个代数簇，Vˊ是V的正则点组成的集合。Vˊ上相对于Fubini-Study度量的L?2-deRham上同调群与V的交叉上同调群是同构的.....”
“若Y是X的定义在k上余维数为j的闭子代数簇，我们有标准映射：Tr:H2(n?j)(Y?kk，Q`)(n?j)→Q`......这里(n?j)是??Q`(n?j)。
这个映射与限制映射：H2(n?j)(X?kk，Q`)(n?j)→H2(n?j)(Y，Q`)(n?j)”
“........”
“根据Poincar′e对偶定理：Hom(H2(n?j)(X?kk，Q`)(n?j)，Q`)～=H2j(X?kk，Q`)(j)......“
.......
时间一点一点的在他的笔下流逝，徐川全神贯注的将自己投入到了最后的突破上。
最终，他手中的笔锋蓦然一转。www.miaoshuzhai.net
“.....基于映射Tr、限制映射和Poincar′e，对偶定理都与Gal(k/k)的作用相容，所以Gal(k/k)在Y定义的上同调类上的作用也平凡。则Aj(X)是H2j(X?kk，Q`)(j)中由X的余维数为j的定义在k上的闭子代数簇的上同调类生成的Q向量空间.......”
“当i≤n/2时，Ai(X)∩ker(L?n?2i+1)上的二次型x→(?1)iL?r?2i(x.x)是正定的。“
“由此，可得，在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类均是代数闭链类的有理线性组合。”
“即，霍奇猜想成立！”
手中圆珠笔在洁白的稿纸上点下最后一个圆点，徐川长舒了一口气，将手中的圆珠笔丢到了一旁，身子往后一躺，靠在了椅背上盯着天花板愣愣的发呆。
当最后一个字符在稿纸上落下的时候，他心里涌出的并不是兴奋，不是高兴，也不是满足感和成就感。
而是带着一些不可置信的迷茫。
耗去长达四个多月的时间，从米尔扎哈尼教授遗留给他的手稿开始，到‘微分代数簇的不可缩分解’问题的解决，再到代数簇与群映射工具的完善，到最后的霍奇猜想的解决。
在这条路上，他经历了太多。
盯着天花板良久，徐川终于回过神来，目光落在了身前书桌上的稿纸上。
将所有的稿纸完整的过了一遍，确定这真的是自己的做出来的成果后，他脸上终于露出了璀璨的笑容，明朗如窗外透进来的阳光。
如果没有意外的话，他，成功了。
….成功解决掉了霍奇猜想这个世纪难题。
这是自1924年数学家来夫谢茨对于(1，1)类的霍奇猜想证明后，和霍奇猜想相关的问题最重要的突破。
尽管他现在还不知道它是否能经得起其他数学家和时间的考验。
但无论如何，他在数学上再次踏出了一大步。
.......
完成证明霍奇猜想的论文之后，徐川又花费了一些时间，将稿纸上的这些东西再度过了一遍，并完善了一些其他的细节。
处理完成这些后，他开始动手将其整理到笔记本中。
而后准备公开。
对于任何一个数学猜想的证明来说，证明者是没有资格给予它是否正确的评价的。
唯有全面公开，且经历同行评审与时间的考验，才能确定它是否真的已经成功。
花费了整整一周的时间，徐川总算是将手中近百页的稿纸全部输入了电脑中。
这上百页的证明，其中有超过三分之一以上的篇幅，是针对解决霍奇猜想的代数簇与群映射工具的解释与论证，还有三分之一的篇幅，是针对霍奇猜想与代数簇与群映射工具搭建的理论框架。
剩下的，才是霍奇猜想的证明过程。
对于这篇论文而言，工具与框架，才是它的核心基础。
如果他愿意，完全可以将工具和理论框架单独拆分出来作为独立的论文进行发表。
就如同彼得·舒尔茨的‘p进类完美空间理论’一样。
这些东西，如果最终被数学界接受，足够他拿到一次菲尔兹奖的。
这并非是菲尔兹奖的廉价，而是数学工具对于数学的重要性。
一项出色的数学工具，能解决的可不仅仅是一个问题。
就像一把斧头一样，它不仅仅能用以砍伐树木，也可以用做木工的工具，加工物品，还可以用作武器，进行厮杀。
同理，他构设的代数簇与群映射工具，也不仅限于与霍奇猜想。
不少代数簇与微分形式以及多项式方程，甚至是代数拓扑方向的难题，它都可以用来进行尝试。
比如和霍奇猜想同属于一类猜想家族的‘布洛赫猜想’、‘代数曲面的霍奇理论应该确定零循环的Chow群是否是有限维的’问题、还有有限系数的某些动机上同调群同构映射到etale上同调问题猜等等。
这些猜想和问题相互支持，数学家不断地在其中一个或另一个上取得进展，试图证明它们导致了数论、代数和代数几何方面的巨大进步。
代数簇与群映射工具能解决霍奇猜想，那么它在同类型的猜想上不说能完全适应，但至少也能起到一部分作用。
因为霍奇猜想本就是研究代数拓扑和多项式方程所表述的几何的关联的猜想。
它所研究的东西，并非是最先进的数学知识，而是在代数几何、分析和拓扑学这三个学科之间建立起一种基本的联系。
….解决这个问题，需要的证明者对这三大领域的数学都有着极深的了解。
对于绝大部分的数学家来说，能在代数几何、分析、拓扑学这三大领域中的某一个领域有着深入研究就相当不易了，更别提三大领域都精通了。
而对于徐川而言，分析和拓扑学本就是他上辈子精通的数学领域，唯有代数几何并不在研究范畴内。
但这辈子跟随着德利涅深入学习数学，有这样的一位导师，他在代数几何上的进步超乎想象。
......
将霍奇猜想的证明论文全部整理完成并输入电脑后，徐川将其转成了PDF格式，然后通过邮箱发给了德利涅和威腾两位导师。
想了想，他又将其上传到了arxiv预印本网站上。
尽管如今的arxiv预印本网站已经逐渐变成变成了计算机占坑的地方了，但上面仍然还是有大量的数学家和物理学家的。
将自己未发表的论文丢上去，不仅可以提前占坑防止被抄袭，也可以提前扩大论文的影响力。
对于霍奇猜想这类问题的证明论文来说，要想彻底完成验证，需要的时间无疑是相当漫长的。
比如此前‘庞加来猜想’的三维情形被数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明，但直到2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加来猜想。
当然，这也和佩雷尔曼几乎拒绝了任何颁发给他的奖项，且深居隐出有关系。
毕竟一个猜想的证明者，如果不去推广自己的证明方法和过程话，别人想要快速的了解这种方法几乎是不可能的事情。
特别是在数学这一领域。
对于一篇证明论文来说，如果没有原创者加以解释，解答其他同行的困惑，其他数学家想要彻底弄懂这篇论文是一件很难的事情。
此外，针对千禧年数学难题这种重大猜想，数学界接受的过程一般也比较长。
毕竟它的正确与否干系无比重大。
就好比黎曼猜想，从1859年被数学家波恩哈德·黎曼提出后，至今数学界的文献中，已有超过数千条的数学命题，以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
如果一旦黎曼猜想被证否，不说数学这座大厦崩塌，至少涉及到黎曼猜想的庞大领域，从数论、到函数、再到分析、到几何......可以说几乎整个数学都将有着重大的改变。
而黎曼猜想一旦被证明，那么围绕着它而建立的数千条数学命题或者猜想，都将荣升为定理。人类的数学史，将迎来一次无比蓬勃的发展。
事实上，一个问题或者猜想的证明的审稿速度，在很大程度上取决于这个问题或者猜想的热度，以及数学界对这个问题或猜想的研究工作进展到了一个怎样的程度。
除此之外，还有证明这个问题或者猜想的使用的方法、理论以及工具。
比如他此前在证明弱Weyl_Berry猜想的时候，就仅仅只是在巴拿赫空间对称结构理论以及具分形边界连通区域上的谱渐近这两领域做了一些创新，利用分形鼓对相联系的计数函数做了开口。
于是弱Weyl_Berry猜想的证明过程很快就被高尔斯教授所接受了。
而在证明Weyl_Berry猜想过程的时候，他在此前的方法上做了突破，通过狄利克雷域来对Ω的分形维数和分形测度的谱进行限定，再辅以域的扩张及将函数转换成子群并与中间域和合集建立起来联系。
数学界对于这一方法的接受就要慢很多了。
哪怕他的论文最终被六名顶级大老进行审核，其中有四名是菲尔兹奖得主，再加上他全程都在现场解答疑惑，也依旧用了很长的时间才被确认。
而时至今日，整个数学界能完全了解Weyl_Berry猜想的证明过程的人依旧不多。
哪怕他后面将这一方法推广到了天文学界，提升了它的重要性。
至于现在他手中的霍奇猜想的证明过程，那就更不用说了。
天知道数学界要多长的时间才会完整的接受这篇论文。
一年？三年？五年？或者更长？
在这漫长的时间中，徐川并不愿意看到自己的论文被束之高阁。
他希望有更多的数学家甚至是物理学家参与进来，将其扩大和应用，应用到更多更广的领域中去。
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自此一别，将天各一方，不知道多少年后才能再相见，甚至有些人再无重逢期。
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